隨筆誌: 三角形中線證明(畢氏定理方法)

2013年8月4日星期日

三角形中線證明(畢氏定理方法)

$AB^2 = BH^2 + AH^2 \,$

$AC^2 = AH^2 + HC^2\,$

$AI^2 = IH^2 + AH^2\,$

所以

$AB^2 + AC^2 = BH^2 + 2AH^2 + HC^2\,$

把 $BH$ 和 $HC$ 用 $BI$ 和 $IH$ 表達出來（記得 $I$ 是 $BC$ 的中點，因此 $BI=IC$ ）。注意到雖然現在的情形假設 $H$ 在線段 $BI$ 上，但其他情形也可以用這個方法。

$BH = BI - IH \,$

$HC = IC + IH = BI + IH\,$

代入前式：

$AB^2 + AC^2 = (BI-IH)^2 + 2AH^2 + (BI+IH)^2 \,$

$AB^2 + AC^2 = BI^2 - 2BI\cdot IH+ IH^2 + 2AH^2 + BI^2 + 2BI\cdot IH + IH^2\,$

$AB^2 + AC^2 = 2BI^2 + 2IH^2 + 2AH^2 = 2BI^2 + 2(IH^2 + AH^2) \,$

現在 $\triangle IHA$ 是直角三角形，因此

$IH^2 + AH^2 = AI^2\,$

代入前式得出

$AB^2 + AC^2 = 2BI^2 + 2AI^2\,$

資料來源：

http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E4%B8%AD%E7%B7%9A%E5%AE%9A%E7%90%86

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